Định luật Kirchhoff

1 Định luật Kirchhoff  I

Định luật này phát biểu về dòng điện, nội dung của nó là: “ Tổng các dòng điện đi vào một  nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút đó ”. Hoặc là: “Tổng đại số các dòng điện tại một nút bằng không”:

Trong đó: ak =  1   nếu dòng điện nhánh  đi ra khỏi nút đang xét

ak = -1   nếu dòng điện nhánh  đi vào nút đang xét

ak =  0   nếu nhánh không thuộc nút đang xét.

Như vậy định luật I có thể mô tả dưới dạng ma trận:

Trong đó  A là ma trận hệ số có kích cỡ tối đa [Nn x Nnh] gọi là ma trận nút, và  Inh

có kích cõ [Nnh x 1] gọi là ma trận dòng điện nhánh.

Trong khi phân tích mạch điện, có thể quy ước chiều dương dòng điện trong các nhánh một cách tuỳ ý, sau khi áp dụng định luật I thì kết quả phân tích sẽ cho chúng ta biết chiều thực của các dòng điện đó. Nếu dòng điện sau khi phân tích tại thời điểm t có kết quả dương thì chiều thực của dòng điện tại thời điểm đó chính là chiều mà chúng ta đã chọn, ngược lại, nếu giá trị là âm thì chiều thực của dòng  điện ngược chiều quy  ước. Chúng ta có thể thấy mặc dù  từ  định luật. Kirchhoff 1 có thể viết được Nn phương trình, nhưng chỉ có  Nn -1  phương trình độc lập. Như vậy sẽ có  Nnh- Nn+1 dòng điện nhánh coi như những giá trị tự do.

2 Định luật Kirchhoff  II

Định luật này phát biểu về điện áp, nội dung của nó là:  “ Tổng đại số các sụt áp trên các phần tử thụ động của một vòng kín bằng tổng đại số các sức điện động có trong vòng kín đó ”. Hoặc là: “Tổng đại số các sụt áp của các nhánh trong một vòng kín bằng không”:

Trong đó: bk =  1   nếu chiều điện áp trên nhánh cùng chiều vòng quy ước,  bk = -1   nếu chiều điện áp trên nhánh ngược chiều vòng quy ước,  bk =  0   nếu nhánh đó không thuộc vòng đang xét.

Khi phân tích mạch  điện,  để việc áp dụng  định luật II  được thuận tiện, nếu trong mạch chứa nguồn dòng thì cần phải chuyển nó về dạng nguồn áp. Ta có thể chọn các vòng cơ bản hoặc không cơ bản  với chiều vòng kín tuỳ ý. Nhưng mặc dù có thể viết định luật II cho nhiều vòng thì cũng nên chú ý rằng không phải tất cả các phương trình đó đều độc lập với nhau. Chúng ta cũng có thể chứng minh được từ định luật kirchhoff 2 chỉ có thể viết được (Nnh – Nn + 1)  phương trình độc lập (tương ứng với số nhánh bù cây, hay số vòng cơ bản tương ứng với mỗi cây được lựa chọn). Như vậy định luật Kirchhof 2 có thể mô tả dưới dạng ma trận:

Trong đó  B  là ma trận hệ số thường có kích cỡ [Nb x Nnh] gọi là ma trận mạch, và  Unh có kích cỡ [Nnh x 1] gọi là ma trận điện áp nhánh.